數學專業在干什么

1.2 常見分支

自古以來，數學一直被廣泛應用在各個不同的領域中，包括科學、工程、醫學、經濟學、金融學等。最近的幾千年里，在不同的國度，數學都得到了發展。古埃及人寫下了第一個方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻，比如幾何和數秘術。中國數學家早就有了負數的概念。“0”這個數字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時期，數學家又跨越了一大步，書寫了第一部代數學的書籍。在文藝復興時期，數學與科學則共同欣榮發展。

如今，隨之社會的發展和科學的進步，數學開始逐漸變得專業化，現代數學可以大致被分為兩個領域：純粹數學（研究數學本身）和應用數學（用以解決更實際的問題）。下面我們就來詳細介紹一下這兩個大的分支：

1.3.1 純粹數學（Pure Mathematics）概念：

純粹數學也叫基礎數學，是一門專門研究數學本身，不以實際應用為目的的學問，研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的內在聯系，也可以說是研究數學本身的規律。相對于應用數學而言，和其它一些不以應用為目的的理論科學(例如理論物理、理論化學)有密切的關系。純粹數學以其嚴格、抽象和美麗著稱。自 18 世紀以來，純粹數學成為數學研究的一個特定種類，并隨著探險、天文學、物理學、工程學等的發展而發展。

基礎數學是對數學結構本身的內在規律進行研究，而并不要求同解決其他學科的實際問題有直接的聯系，只是以純粹形式研究事物的數量關系和空間形式。基礎數學包含的分支有：代數學、數論、幾何學、拓撲學、分析學、函數論、組合數學等。

基礎數學是數學科學的核心。它不僅是其它應用性數學分支的基礎，而且也為自然科學、技術科學及社會科學提供必不可少的語言、工具和方法。研究基本的類型和過程如何轉化成抽象的概念陳述，包括解析、代數和幾何數學的抽象概念等, 是所有學校數學系主要的研究方向。微分幾何、偏微分方程等都屬于基礎數學范疇。人們耳熟能詳的陳景潤證明“1+1=2”哥德巴赫猜想的故事就發生在這個領域。

純粹數學的研究分支：

1 ）代數學（Algebra）

數學中最重要的、基礎的分支之一。代數學的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產技術的進步，科學和數學本身的需要而產生和發展。在這個過程中，代數學的研究對象和研究方法發生了重大的變化。代數學可分為初等代數學和抽象代數學兩部分。初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，而抽象代數學則是在初等代數學的基礎上產生和發展起來的。初等代數學是指 19 世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質等。代數之前已有算術，算術是解決日常生活中的各種計算問題，即整數與分數的四則運算。代數與算術不同，主要區別在于代數要引入未知數，根據問題的條件列方程，然后解方程求未知數的值。

2 ）數論 （Number theory）

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼 ζ 函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關系，并且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。按研究方法來看，數論大致可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論，它的研究方法本質上就是利用整數環的整除性質，主要包括整除理論、同余理論、連分數理論。高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大致包括代數數論、解析數論、計算數論等等 。

3) 幾何學（Geometry）

幾何學，英文 Geometry 一詞,是從希臘語演變而來的,其原意是土地測量、后被我國明朝的徐光啟翻譯成"幾何學"。依據大量實證研究,創造幾何學的是埃及人,幾何學因土地測量而產生。幾何是研究形的科學，人的視覺思維為主導，培養人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何的發展首先是歐幾里得的歐氏幾何，其次是19 世紀上半葉非歐幾何的誕生,再次是射影幾何的繁榮，最后是幾何學的統一。

幾何學的分支包括：平面幾何，立體幾何，非歐幾何，羅氏幾何，黎曼幾何，解析幾何，射影幾何，仿射幾何，代數幾何，微分幾何，計算幾何，拓撲學等。

這里值得一提的是拓撲學，拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里， 重要的拓撲性質包括連通性與緊致性。

拓撲英文名是 Topology，直譯是地志學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。拓撲學是由幾何學與集合論里發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。

4) 分析學（Analysis）

分析學，是 17 世紀以來在微積分學發展的基礎上形成的數學一大分支。它曾和幾何學、代數學并列為數學中的三個主要分支，并從18世紀以來相對獨立地得到很大的發展，曾經被認為是數學的一個最大分支（ h t t p :/ / www . b a i k e.c o m / w i ki / 分 析學 ） 。

它是以微積分方法為基本工具，以函數為主要研究對象的眾多數學經典分支及其現代拓展的統稱，簡稱分析。

狹義的分析學，指數學分析，以微分學、積分學、級數論、實數理論為其基本內容。廣義的分析學，極限的概念不僅是微積分的核心，也是許多其他學科的重要思想。其中微積分是近代數學的基礎，從它已產生許多新的數學分支，如微分方程、函數論、變分法、泛函分析等，統稱為廣義的分析學。

5) 函數論（Function Theory）

函數論是實函數論和復變函數論的總稱。實函數論是研究函數的連續性、可微性和可積性的理論；復變函數論是研究復變數的解析函數性質的理論。以實數作為自變量的函數就做實變函數，以實變函數作為研究對象的數學分支就叫做實變函數論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。以復數作為自變量的函數就叫做復變函數，而與之相關的理論就是復變函數論。解析函數是復變函數中一類具有解析性質的函數，復變函數論主要就研究復數域上的解析函數，因此通常也稱復變函數論為解析函數論。

函數論主要包括：實變函數論，單復變函數論，多復變函數論，函數逼近論，調和分析， 復流形，特殊函數論和函數論其他學科。

6) 組合數學（Combinatorial mathematics）

組合數學又稱為離散數學。廣義的組合數學就是離散數學，狹義的組合數學是離散數學除圖論、代數結構、數理邏輯等的部分。但這只是不同學者在叫法上的區別。總之，組合數學是一門研究離散對象的科學。隨著計算機科學的日益發展，組合數學的重要性也日漸凸顯，因為計算機科學的核心內容是使用算法處理離散數據。狹義的組合數學主要研究滿足一定條件的組態（也稱組合模型）的存在、計數以及構造等方面的問題。組合數學的主要內容有組合計數、組合設計、組合矩陣、組合優化（較好組合）等。

1.3.2 應用數學（Applied Mathematics ）概念：

應用目的明確的數學理論和方法的總稱，研究如何應用數學知識到其他范疇（尤其是科學）的數學分枝。部分學校作為數學系單獨的研究方向。

應用數學的發展是以科學為依據，將純數學中的結論擴展到其他科學中。應用數學包含的分支有：概率與統計、計算數學、物理數學，經濟和金融數學、運籌優化、控制論等。更具體的來 說，它包括微分方程、向量分析 、矩陣、拉普拉斯變換、傅里葉變換、復變分析 、數值方 法、概率論、數理統計、運籌學、博弈論、控制理論、組合數學、信息論等許多數學分支，也包括從各種應用領域中提出的數學問題的研究。應用數學涉及的領域很廣泛，基本在現在的科學和工程各個領域都在 extensively & intensively 應用。

Wiki 中的簡介：“ 圖論 應用在網絡分析， 拓撲 學在電路分析上的應用， 群論 在結晶學上的應用，微分幾何在規范場上的應用，自動控制理論在計算上的應用， 黎曼幾何 應用于相對 論，數理邏輯應用于計算機 ，最小二乘法應用于飛機起降時自動控制，利用數字合成計算機輔助的 X 射線斷層成像技術（1979 年數學家獲得諾貝爾醫學獎）。數論應用在密碼學， 博弈論、概率論、統計學 應用在經濟學，線性規劃用于生產安排調度，都可見數學在不同范疇的應用。”

最常見的應用包括兩個大的方向：一是計算機，隨著計算機的飛速發展，需要一大批懂數學的軟件工程師做相應的數據庫的開發；二是經濟學，現在的經濟學有很多都需要用非常專業的數學進行分析，應用數學有很多相關課程本身設計就是以經濟學實例為基礎的。應用數學與純數學最大的區別就是與實際的結合：設法解決自然現象與社會發展提出的數學問題，并將其探討結果應用回到自然界與社會中去。

應用數學的研究分支：

1 ）計算數學 （Computational Mathematics）

計算數學是伴隨著計算機的出現而迅猛發展起來的新學科，涉及計算物理、計算化學、計算力學、計算材料學、環境科學、地球科學、金融保險等眾多交叉學科。它運用現代數學理論與方法解決各類科學與工程問題，分析和提高計算的可靠性、有效性和精確性，研究各類數值軟件的開發技術。

既突出了解決信息、電子與計算機領域中的某些核心理論技術問題，又注意到從這些高新技術中抽象出新的數學理論；在保持應用數學與計算數學主體研究方向優勢的基礎上，重視并加強信息科學的數學基礎、數據分析與統計計算、科學計算、現代優化、電子系統的數值模擬、生物系統的數學建模等研究。

專業背景：要求考生具備基礎數學、應用數學、信息技術、計算機科學、數據處理和系統分析，工程學、以及數字圖像等學科知識。

研究方向：工程問題數值方法、發展方程與動力系統的數值方法、數值逼近與數字圖像處

理、計算機圖形學與計算機軟件、光學與電磁學中的數學問題等。

2) 統計學 （Statistics）

統計學是應用數學的一個分支，主要通過利用概率論建立數學模型，收集所觀察系統的數據，進行量化分析、總結，做出推斷和預測，為相關決策提供依據和參考。它被廣泛的應用在各門學科之上，從物理和社會科學到人文科學，甚至被用來工商業及政府的情報決策之上。隨著數字化的進程不斷加快，人們越來越多地希望能夠從大量的數據中總結出一些經驗規律從而為后面的決策提供一些依據。統計學專業不是僅僅像其表面的文字表示，只是統計數字，而是包含了調查、收集、分析、預測等。應用的范圍十分廣泛 。

統計學的主分支包括：統計學史，理論統計學，統計調查分析理論，統計核算理論，統計監督理論，統計預測理論，統計邏輯學，統計法學，描述統計學，推斷統計學，經濟統計學，宏觀經濟統計學，微觀經濟統計學，管理統計學，科學技術統計學，農村經濟調查，社會統計學， 教育統計學，文化與體育統計學，衛生統計學，司法統計學，會福利與社會保障統計學，生活質量統計學，人口統計學，環境與生態統計學，自然資源統計學，環境統計學，生態平衡統計學，國際統計學，國際標準分類統計學，國際核算體系與方法論體系，國際比較統計學。

統計學是一門很古老的科學，一般認為其學理研究始于古希臘的亞里斯多德時代，迄今已有兩千三百多年的歷史。它起源于研究社會經濟問題，在兩千多年的發展過程中，統計學至少經歷了“城邦政情”、“政治算數”和“統計分析科學”三個發展階段。所謂“數理統計”并非獨立于統計學的新學科，確切地說，它是統計學在第三個發展階段所形成的所有收集和分析數據的新方法的一個綜合性名詞。概率論是數理統計方法的理論基礎，但是它不屬于統計學的范疇，而是屬于數學的范疇。

3) 概率論 （Probability Theory）

概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相對于決定性現象而言的。在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象。例如在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗或觀察前，不能肯定會出現哪種結果，呈現出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現正面或反面。

隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件統稱隨機事件，或簡稱事件。典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤游戲等。事件的概率是衡量該事件發生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律。

概率論主要包括：幾何概率，概率分布，極限理論，隨機過程，馬爾可夫過程，隨機分析，鞅論，應用概率論，概率論其他學科。概率論是一門研究事情發生的可能性的學問，但是最 初 概 率 論 的 起 源 與 賭 博 問 題 有 關 。16 世 紀 ， 意 大 利 的 學 者 吉 羅 拉 莫 ·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。概率與統計的一些概念和簡單的方法，早期主要用于賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性，并用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了概率論，并使之逐步發展成一門嚴謹的學科。概率與統計的方法日益滲透到各個領域，并廣泛應用于自然科學、經濟學、醫學、金融保險甚至人文科學中。

4) 數理統計

數理統計是以概率論為基礎，研究社會和自然界中大量隨機現象數量變化基本規律的一種方法。它以隨機現象的觀察試驗取得資料作為出發點，以概率論為理論基礎來研究隨機現象。根據資料為隨機現象選擇數學模型，且利用數學資料來驗證數學模型是否合適，在合適的基礎上再研究它的特點、性質和規律性。數理統計是伴隨著概率論的發展而發展起來的一個數學分支，研究如何有效的由集、整理和分析受隨機因素影響的數據，并對所考慮的問題作出推斷或預測，為采取某種決策和行動提供依據或建議 。

數理統計在自然科學、工程技術、管理科學及人文社會科學中得到越來越廣泛和深刻的應用，其研究的內容也隨著科學技術和政治、經濟與社會的不斷發展而逐步擴大，但概括地說可以分為兩大類：⑴試驗的設計和研究，即研究如何更合理更有效地獲得觀察資料的方法；⑵統計推斷，即研究如何利用一定的資料對所關心的問題作出盡可能精確可靠的結論，當然這兩部分內容有著密切的聯系，在實際應用中更應前后兼顧。但按本專業的總體設計，我們的數理統計課程只討論統計推斷。數理統計以概率論為基礎，根據試驗或觀察得到的數據，來研究隨機現象統計規律性的學科。本課程的目的是讓學生了解統計推斷檢驗等方法并能夠應用這些方法對研究對象的客觀規律性作出種種合理的估計和判斷。掌握總體參數的點估計和區間估計。掌握假設檢驗的基本方法與技巧。理解平方差分析及回歸分析的原理，并能運用其方法和技巧進行統計推斷 。

數理統計的主要內容有：參數估計，假設檢驗，相關分析，試驗設計，非參數統計，過程統計，抽樣理論，假設檢驗，方差分析，相關回歸分析，統計推斷，貝葉斯統計，試驗設計，多元分析，統計判決理論，時間序列分析等。

5) 金融數學

金融數學又稱分析金融學、數理金融學、數學金融學，是20世紀80年代末、90年代初興起的數學與金融學的交叉學科。金融數學主要運用現代數學理論和方法(如:隨機分析、隨機最優控制、組合分析、非線性分析、多元統計分析、數學規劃、現代計算方法等)對金融(除銀行功能之外,還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場)的理論和實踐進行數量的分析研究。其核心問題是不確定條件下的最優投資策略的選擇理論和資產的定價理論。套利,最優和均衡是其中三個主要概念。近二十幾年來，金融數學不僅對金融工具的創新和對金融市場的有效運作產生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發項目的評估(如實物期權)以及在金融機構的風險管理中得到廣泛應用。

在現代金融數學理論中,各種各樣的金融經濟學模型占據著中心地位。其中至今仍有重大影響的成果有:有效率的市場理論、證券組合理論、資本資產定價模型、套利定價理論、期權定價方程和資產結構理論等 。

6) 數學物理

數學物理以研究物理問題為目標的數學理論和數學方法。它探討物理現象的數學模型，即尋求物理現象的數學描述，并對模型已確立的物理問題研究其數學解法，然后根據解答來詮釋和預見物理現象，或者根據物理事實來修正原有模型。“數理”也叫“數學物理”，是數學和物理學的交叉領域，指應用特定的數學方法來研究物理學的某些部分。對應的數學方法也叫數學物理方法。

隨著電子計算機的發展，數學物理中的許多問題可以通過數值計算來解決，由此發展起來的“計算力學”和“計算物理”都發揮著越來越大的作用。計算機直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續獲得發展。科學的發展表明，數學物理的內容將越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。其他各門科學，如化學、生物學、地學、經濟學等也廣泛地利用數學模型來進行研究。數學物理中的許多方法和結果對這些研究發揮了很好的作用。在工程科學中，處處需要精確地求解物理問題，所以數學物理對于技術進步也有非常重要的意義。此外，數學物理的研究對數學有很大的促進作用。它是產生數學的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉 。

2.1 專業背景

要求本科為數學或相關專業，上過高等微積分和復合變量、微分方程和線性代數、概率論和離散數學等數學相關課程。

2.2 其他要求需要注意，美國大學排名前20的學校很多強制要求學生在遞交申請材料時，必須同時提交 GRE Subject 數學 的考試和 GRE general 的成績，但是關于托福和雅思成績，學校一般給出的最低要求都不等，具體要以學校為主。

3.1國內就業領域

數學專業的學生在國內的就業除了數學教師以外，可以選擇的領域很廣泛，可以從事的包括精算師，目前在國外的平均年薪達10 萬美元以上，國內目前月薪也在 1 萬元以上，并且對于精算人才的需求持續上升，精算師堪稱是金領中的金領。精算人才其實不只是保險業有這個需要，銀行，金融，投資與大型企業都會要求經理人有精算背景。精算師一般任職于政府、銀行和保險公司等機構。另外，學生也可以考慮金融數學家。絕大部分的金融數學家為國際性的投資銀行工作。他們擔任著非常關鍵的角色。他們從事數量分析、衍生 金融產品構建、風險管理或資產管理等工作，在投資銀行及全球性企業中屬于拿較高薪水的一群人。同時，在那些進行國際貿易或商品貿易的公司(航空公司、能源公司、大型鋼鐵公司、礦業公司及國際大公司)也會面臨商品價格風險及外匯風險。他們便雇用金融數學家處理這些風險。不錯的管理咨詢公司也雇用金融數學家為那些本身未聘請金融數學家的公司提供服務。現在存在著全球性高素質金融數學家的短缺，因此該專業的就業前景十分看好。除此之外，畢業生也可以考慮銀行、證券業工作領域，IT行業，專業學者-數學家等。但是對于學生在相關領域的技能還是有一些要求。

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