29789 常微分方程

一、課程性質及其設置目的與要求

（—）課程性質及其設置目的

常微分方程是江蘇省高等教育自學考試數學教育專業的一門重要的基礎理論課程，它具有非常重要的應用價值，它的設置目的是： 1、使應考者系統地獲得常微分方程中最基本的知識和必要的基礎理論，能比較熟練的掌握基本的運算技能，為學生進一步學習數學其它有關課程提供必要的數學工具。 2、為應考者今后應用數學（如數學建模等）解決實際問題提供必要訓練和準備。通過學習，使應考者能掌握一階微分方程的初等積分法，能求解常系數高階線性微分方程、常系數線性微分方程組。 3、通過學習，使應考者受到數學思想方法，尤其是數學化歸思想的教育。

（二）本課程的基本要求

本課程共分六章。通過學習，使應考者能了解常微分方程中最基本的知識和應用價值，以及有關數學思想方法，理解必要的常微分方程基礎理論，重點掌握一階微分方程的初等積分法和求解常系數高階線性微分方程以及常系數線性微分方程組。

（三）本課程與相關課程的聯系

常微分方程應是數學分析和高等代數的后繼課程。二、課程內容與考核目標

第一章 初等積分法

（一）課程內容

1、微分方程和解2、變量可分離方程3、線性方程與常數變易法4、全微分方程與積分因子 5、一階隱式方程 6、幾種可降階的高階方程 7、一階微分方程的應用舉例

（二）學習要求

熟練掌握變量分離方程、齊次方程、線性方程、伯努利方程和全微分方程以及幾種可降階高階方程的的解法，會求一些簡單的積分因子，了解一階隱式方程的求解方法，具有應用變量變換求解微分方程的能力，能應用微分方程分析和解決一些簡單實際問題。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：微分方程概念 2、掌握：一階微分方程的一般解法和各類型方程的轉化關系，以及一階微分方程的應用 3、熟練掌握：變量可分離方程的解法，線性方程和伯努利方程的解法，全微分方程的解法，幾種可降階的高階方程的解法，一階微分方程的簡單幾何應用 第二章 基本定理

（一）課程內容

1、常微分方程的解的幾何解釋 2、存在唯一性定理與逐步逼近法3、解的延拓4、奇解

（二）學習要求

了解常微分方程的解的幾何解釋，掌握了解一階微分方程解的存在唯一性定理的條件和結論以及利普希茨條件的檢驗方法。了解解的存在唯一性定理的全部證明過程和證明中所用方法的原因。掌握利用Picard逐步逼近法求所給方程的近似解。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：常微分方程的解的幾何解釋，解的存在唯一性定理的全部證明過程和證明中所用方法 2、掌握：掌握了解一階微分方程解的存在唯一性定理的條件和結論以及利普希茨條件的檢驗方法，掌握利用Picard逐步逼近法求所給方程的近似解。 第三章 一階線性微分方程組

（一）課程內容

1、一階微分方程組和一階線性微分方程組的基本概念 2、一階線性齊次微分方程組的一般理論 3、一階線性非齊次微分方程組的一般理論 4、常系數線性微分方程組的解法

（二）學習要求

了解線性微分方程組的一般理論，, 了解應用常數變易公式求線性非齊次微分方程組的特解的方法，重點掌握常系數線性微分方程組的求解方法。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：一階微分方程組和一階線性微分方程組的基本概念， 一階線性齊次微分方程組的一般理論和一階線性非齊次微分方程組的一般理論 2、掌握：常系數線性微分方程組的求解方法。 3、熟練掌握：常系數線性齊次微分方程組的解法 第四章 n階線性微分方程

（一）課程內容

1、n階線性微分方程的一般理論 2、n階常系數線性齊次方程的解法 3、n階常系數線性非齊次方程解的解法

（二）學習要求

了解n階線性方程的解的性質與結構和利用常數變易法求 n階線性方程的特解的一般理論。 熟練掌握n階常系數線性方程的解法和利用待定系數法求兩種類型n階非齊次線性方程的特解。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：n階線性方程的解的性質與結構和利用常數變易法求 n階線性方程的特解的一般理論。 2、掌握：n階線性方程的解的結構 3、熟練掌握：n階常系數線性方程的解法和n階常系數線性非齊次方程解的解法。 第五章定性與穩定性理論簡介

（一）課程內容

1、穩定性概念 2、李雅普諾夫第二方法 3、平面自治系統的基本概念 4、平面定性理論簡介

（二）學習要求

了解相平面及其有關的定義和概念、掌握各種類型的初等奇點及其相應的穩定性態。能利用李雅普諾夫第二方法判斷零解的穩定性。了解平面系統極限環的有關概念，會求簡單方程組的極限環和穩定性。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：穩定性概念和平面自治系統的基本概念，李雅普諾夫第二方法。 2、掌握：初等奇點和極限環的有關概念。 3、熟練掌握：各種類型的初等奇點及其相應的穩定性態的確定，確定簡單方程組的極限環和穩定性方法 第六章一階線性偏微分方程初步

（一）課程內容

1、基本概念 2、一階常微分方程組的首次積分 3、一階線性齊次偏微分方程

（二）學習要求

了解一階偏微分方程的基本概念、一階線性偏微分方程與常微分方程組的關系以及常微分方程組首次積分的概念。能夠利用首次積分求解常微分方程組. 了解一階偏微分方程的解法。

（三）考核知識點和考核要求

1、領會：一階偏微分方程的基本概念和一階偏微分方程的解法。 2、掌握：首次積分的概念 3、熟練掌握：用首次積分求解常微分方程組三、有關說明和實施要求

（一）關于“課程內容與考核目標”中的有關說明

在大綱的考核要求中，提出了“領會”、“掌握”“熟練掌握”等三個能力層次的要求，它們的含義是： 1、領會：要求應考者能夠記憶規定的有關知識點的主要內容，并能夠理解規定的有關知識點的內涵與外延，熟悉其內容要點和它們之間的區別與聯系，并能根據考核的不同要求，作出正確的解釋、說明和闡述。 2、掌握：要求應考者掌握有關的知識點，正確和記憶相關內容的原理、方法步驟等。 3、重點掌握：要求應考者必須掌握的核心內容和重要知識點。

（二）自學教材

本課程使用教材為：《常微分方程》，東北師范大學微分方程教研室主編，高等教育出版社，2005年。

（三）自學方法的指導

本課程作為一門的專業課程，綜合性強、內容多、難度大，自學者在自學過程中應該注意以下幾點： 1、學習前，應仔細閱讀課程大綱，熟悉課程的基本要求，使以后的學習緊緊圍繞課程的基本要求。 2、在閱讀某一章教材內容前，應先認真閱讀大綱中該章的考核知識點、自學要求和考核要求，注意對各知識點的能力層次要求，以便在閱讀教材時做到心中有數。 3、認真學習各章節例題，熟悉各種類型習題解法。 4、學完教材的每一章節內容后，應完成教材的習題，進一步理解和鞏固所學的知識，增強解題能力。

（四）對社會助學的要求

1、應熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點。 2、應掌握各知識點要求達到的層次，并深刻理解各知識點的考核要求。 3、對應考者進行輔導時，應以指定的教材為基礎，以考試大綱為依據，不要隨意增刪內容，避免與考試大綱脫節。 4、輔導時應對應考者進行學習方法的指導。 5、輔導時要注意基礎、突出重點，注意幫助學生歸納對各類型方程的解法。

（五）關于命題和考試的若干規定

1、本大綱所提到的考核要求中，各條細目都是考試的內容，試題覆蓋到章，適當突出重點章節，加大重點內容的覆蓋密度。 2、試卷對不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“領會”10 ，“掌握”20 ，“熟練掌握”為70 。 3、試題難易程度要合理，可分為四檔：易、較易、較難、難，這四檔在各份試卷中所占的比例約為2 ：3 ：3 ：2。 4、本課程考試試卷可能采用的題型有：單項選擇題、填空題等類型。 5、考試方式為閉卷筆試，考試時間為150分鐘。評分采用百分制，60分為及格。附錄 題型舉例