28113 高等幾何

高等幾何是中學教師進修數學專業（本科）的必修課程。在學員已經熟悉初等幾何、解析幾何及高等代數有關知識的基礎上，以仿射幾何作為歐氏幾何到射影幾何的橋梁，逐步系統地闡明了射影幾何的基本知識，并以變換群的觀念加以比較，闡明了它們之間的內在聯系。

本課程包括仿射幾何、射影幾何的基本知識二部分內容，其中以射影幾何為主要內容。

本課程兼用代數法與綜合法，側重代數法。

第一章 仿射坐標與仿射變換

一、要求

1.掌握透視仿射對應概念和性質，以及仿射坐標的定義和性質。熟練掌握單比的定義和坐標表示。 2.掌握仿射變換的兩種等價定義；熟練掌握仿射變換的代數表示，以及幾種特殊的仿射變換的代數表示。 3.掌握圖形的仿射性質和仿射不變量。

二、考試內容

1.單比的定義和求法。 2.仿射變換的代數表示式，以及圖形的仿射性質和仿射不變量。 3.仿射變換的不變點和不變直線的求法。 4.幾種特殊的仿射變換的代數表示。

第二章 射影平面

一、要求

1.掌握中心射影與無窮遠元素的基本概念，理解無窮遠元素的引入。 2.熟練掌握笛薩格（Desargues）定理及其逆定理的應用。 3.熟練掌握齊次點坐標的概念及其有關性質。 4.理解線坐標、點方程的概念和有關性質。 5.掌握對偶命題、對偶原則的理論。 6.掌握復元素的概念及性質。

二、考核內容

1.中心投影與無窮遠元素 中心投影，無窮遠元素，圖形的射影性質。 2.笛薩格（Desargues）定理 應用笛薩格（Desargues）定理及其逆定理證明有關結論。 3.齊次點坐標 齊次點坐標的計算及其應用。 4.線坐標 線坐標的計算及其應用。 5.對偶原則 作對偶圖形，寫對偶命題，對偶原則和代數對偶的應用。 6.復元素 復元素、共軛復元素，過一復點的實直線和在一復直線上的實點。

第三章 射影變換與射影坐標

一、要求

1.熟練掌握共線四點與共點四線的交比與調和比的基本概念、性質和應用。 2.掌握完全四點形與完全四線形的調和性及其應用。 3.掌握一維射影變換的概念、性質，代數表示式和參數表示式。 4.掌握二維射影變換的概念、性質以及代數表示式。 5.理解一維、二維射影坐標的概念以及它們與仿射坐標、笛氏坐標的關系。

二、考試內容

1.交比與調和比 交比的定義、基本性質及其計算方法，調和比的概念及其性質。 2.完全四點形與完全四線形 完全四點形與完全四線形的概念及其調和性。 3.一維基本形的射影對應 一維射影對應的性質，與透視對應的關系，以及代數表示式。 4.一維射影變換 一維射影變換的代數表示式和參數表示式。 5.一維基本形的對合 對合的定義、性質、參數表示，對合的二重元素及其性質。 6.二維射影變換 7.二維射影對應（變換）與非奇線性對應的關系。 8.射影坐標 一維射影坐標、二維射影坐標。 9.一維、二維射影變換的不變元素 求一維射影變換的不變點，二維射影變換的不變點和不變直線。

第四章 變換群與幾何學

一、要求

1.了解變換群的概念。 2.理解幾何學的群論觀點。 3.弄清歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關系及其各自的研究對象。

二、考試內容

1.變換群與幾何學的關系。 2.歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何學相應的變換群、變換式、研究對象基本不變量和基本不變性。

第五章 二次曲線的射影理論

一、要求

1.掌握二隊（級）曲線的射影定義、二階曲線與直線的相關位置，二階曲線的切線，二階曲線與二級曲線的關系。 2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握極點，極線的概念和計算方法，熟練掌握配極原則。 4.了解二階曲線的射影分類。

二、考試內容

1.二階（級）曲線的概念，性質和互化，求二階曲線的主程和切線方程。 2.應用巴勞動保護加定理和布利安桑定理及其特殊情形證明有關問題，解決相在的作圖問題。 3.求極點坐標和極線方程，求作極點和極線（作圖），應用配極原則證明有關問題。 4.二階曲線的射影分類。

第六章 二次曲線的仿射性質和度量性質

一、要求

1.掌握二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線等概念和性質。 2.了解二次曲線的仿射分類與射影分類的區別。 3.掌握圓環點、迷向直線概念，掌握拉蓋爾定理。 4.掌握二次曲線的主軸、焦點、準線等概念。

二、考試內容

1.求二階曲線的中心、直徑、共軛直徑和漸近線。 2.求主軸、焦點和準線。