28111 高等代數

第一章 線性空間

一、要求

1.理解線性空間的概念及其基本性質。2.掌握線性空間中向量的線性相關性的概念及有關結論。3.掌握線性空間的維數、基與坐標的概念及求法，了解維數、基與所考慮的數域有關。4.掌握兩個基之間的過渡矩陣及其形式寫法和運算規律，能熟練地應用基變換與坐標變換公式。 5.理解線性子空間及生成子空間的概念與有關性質，掌握基擴充定理。6.掌握子空間的交、和與直和的概念及直和的充分必要條件，理解維數公式的意義。7.理解和掌握線性空間同構的概念及同構的充分必要條件。

二、考試內容

1.線性空間的概念 線性空間的定義和基本性質，常見線性空間的例子。2.線性相關性線性組合、線性相關和線性無關等基本概念及其有關的結論。 3.維數、基和坐標維數、基與坐標的概念及求法、維數、基與所考慮的數域的關系，常見線性空間的自然基。 4.基變換與坐標變換過渡矩陣及其性質、基變換公式與坐標變換公式。5.子空間子空間的概念及其等價條件，生成子空間的概念及其性質，基擴充定理。6.子空間的交、和與直和子空間的交與和的概念及有關定理，維數公式；直和的概念及直和的充分必要條件。7.同構線性空間同構的概念和性質、線性空間同構的充分必要條件。

第二章 線性變換

一、要求

1.掌握線性變換的定義、基本性質及其運算。2.理解線性變換的矩陣的概念，線性變換的運算與矩陣運算之間的對應關系，象與原象的坐標公式。3.掌握矩陣相似的概念及其性質；理解同一線性變換在不同基下的矩陣之間的關系。4.熟悉線性變換和矩陣的特征值，特征向量的概念及其關系；熟練掌握特征值、特征向量的求法；掌握特征子空間的概念。熟悉哈密爾頓一凱萊定理。5.熟練掌握線性變換在適當基下的矩陣為對角矩陣的條件及求法。熟悉不同特征值的特征向量的性質。6.理解線性變換的值域與核的概念及其性質。7.掌握不變子空間和線性變換在其上引起的變換的概念及性質。不變子空間與線性變換矩陣化簡的關系；熟悉將線性空間V按特征值分解成不變子空間的直和的結論。 8.熟悉矩陣最小多項式的概念和性質，理解矩陣的最小多項式與特征項式的關系，掌握根據最小多項式來判斷矩陣相似于對角形的充分必要條件。

二、考試內容

1.線性變換的概念及其運算。線性變換的定義及其基本性質；線性變換的運算。2.線性變換的矩陣線性變換的矩陣的概念，以及線性變換與矩陣之間的對應關系；象與原象的坐標之間的關系。3.線性變換的特征值、特征向量 矩陣相似的概念：同一個線性變換在不同基下的矩陣之間的相似關系；線性變換和矩陣的特征值、特征向量的概念及求法；特征多項式及其性質；特征子空間。4.線性變換的對角化問題 屬于不同特征值的特征向量線性無關的性質；線性變換在適當基下的矩陣為對角矩陣的條件及求法。 5.值域與核線性變換的值域與核以及秩和零度的概念；線性變換的值域與線性變換的矩陣的列向理之間關系；線性變換的核與齊次線性方程組解空間的關系。6.不變子空間不變子空間的概念和性質；線性變換在不變子空間上引起的變換；不變子空間與矩化簡的性質；線性空間按特征值分解成不變子空間的直和。7.最小多項式矩陣的最小多項式及其性質，最小多項式的求法，根據地最小多項式來判斷相似于對角形的充分必要條件。

第三章 λ—矩陣

一、要求

1.理解λ-矩陣的基本概念，了解λ-矩陣與數字矩陣有關概念的異同，掌握λ-矩陣可逆的充分必要條件，掌握λ-矩陣在初等變換下的標準及其求法。 2.掌握矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子的概念和求解方法，以及它們相互之間的關系；了解λ-矩陣等價的有關充分必要條件。3.掌握矩陣相似的充分必要條件，了解矩陣的相似不變量。4.掌握復數域上矩陣的若當標準形及其求法，了解任意數域上矩陣的有理標準及其求法。

二、考試內容

1.λ-矩陣λ-矩陣的定義及其運算，λ-矩陣陣的秩，λ-矩陣可逆的充分必要條件，λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的等價，λ-矩陣在初等變換下的標準形。2.不變因子行列式因子、不變因子及相互關系；λ-矩陣等價的充分必要條件，λ-矩陣標準形的唯一性。3.矩陣相似的條件矩陣相似與特征矩陣等價的相互關系，初等因子，矩陣的相似不變量。 4.有理標準形和若當標準形數域F上的多項式的友陣，在理標準形及其求法，若當塊，若當標準形及其求法。

第四章 歐氏空間

一、要求

1.掌握有關內積、歐氏空間、向量的長，夾角、正交等基本概念和性質。2.理解度量矩陣的概念和性質；理解標準正交基的概念和作用；熟練掌握化線性無關向量組為單位正交向量組的正交化、單位化方法。 3.理解正交變換的概念、掌握正交換的有關等價條件。4.理解正交子空間及正交補子空間的概念，了解歐氏空間的正交分解的意義。5.理解實對稱變換的概念及與實對稱矩陣的對應關系；掌握有關實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質及其正交化簡的結論，能熟練地對實對稱矩陣，及實二次型的進行正交化簡。6.了解歐氏空間同構的概念及充分必要條件。7.理解向量間的距離和向量到子空間的距離；了解最小二乘解及其求解方法。

二、考試內容

1.歐氏空間的概念內積、歐氏空間的定義及其性質；向量的長，有關不等式，兩個非零向量的夾角，向量的正交。2.標準正交基度量矩陣的概念和性質，不同基的度量矩陣的關系；標準正交基的概念及作用；化線性無關向量組成單位正交向量組的正交化，單位化方法。3.正交變換正交變換及其等價條件；正交換的幾何意義。4.正交子空間子空間與子空間正交的概念及性質；正交補空間的概念和有關結論及其幾何意義。5.對稱變換對稱變換的定義，對稱變換與實對稱矩陣的對應關系；實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質；實對稱矩陣及實二次型的正交化簡。6.歐氏空間的同構歐氏空間的同構；歐氏空間同構的充分必要條件。7.最小二乘法向量間的距離，向量到子空間的距離和有關結論及其幾何意義；最小二乘解和它的求解方法。

第五章 雙線性函數

一、要求

1.了解線性函數的概念和性質，理解對偶空間和對偶基的概念，掌握兩個基的過渡矩陣與它們的對偶基的過渡矩陣的關系。2.理解雙線性函數和度量矩陣的概念及其相互關系，了解非退化的雙線性函數的概念及其充分必要條件。3.掌握對稱雙線性函數的概念和它的度量矩陣的有關性質，了解它與對稱矩陣及二次型的關系。了解非退化的雙線性函數的正交基的概念。

二、考試內容

1.對偶空間線性函數的定義和性質；對偶空間與對偶基，兩個基的過渡矩陣與它們的對偶基的過渡矩陣的關系。2.雙線性函數雙線性函數和它的度量矩陣，雙線性函數在不同基下的度量矩陣的合同關系；非退化雙線性函數及其充分必要條件。3.對稱雙線性函數 對稱雙線性函數，對稱雙線性函數與對稱矩陣的關系，對稱雙線性函數與二次型的關系；對稱雙線性函數的度量矩陣的對角化；非退化對稱雙線函數的正交基。