02011 復變函數論（高綱 0810）

江蘇教育學院編（高綱號 0810）

　　一、復數與復變函數

　　一、要求

　　（一）明確復數、區域、復平面、擴充復平面，逐段光滑曲線等概念。　　（二）明確復變函數概念和幾何意義，掌握一些簡單函數的變換性質。　　（三）掌握復變函數的極限和連續性的概念和基本性質。　　（四）熟練掌握復數的有關計算，會作點集的圖形。

　　二、考試內容

　　（一）復數概念、復數的表示法及其代數運算、復數的模與幅角、共軛復數及其簡單運算。　　（二）平面點集基本概念，曲線（連續曲線、約當曲線、逐段光滑曲線）、區域（單連通區域、復連通區域）、復平面。　　（三）復變函數的概念及其幾何意義，復變函數的極限與連續性。　　（四）無窮遠點，擴充復平面。　　　二、解析函數

　　一、要求

　　（一）掌握導數、解析函數的概念。　　（二）掌握Ｃ——Ｒ條件，并能熟練地判斷復變函數的可導性和解析性。　　（三）掌握復基本初等函數的定義和基本性質。　　（四）掌握正整冪函數、根式函數、指數函數、對數函數的變換性質，了解根式函數單值解析分支的取法。

　　二、考試內容

　　（一）導數、解析函數、Ｃ--Ｒ條件。　　（二）初等函數：正整冪函數與根式函數，指數函數與對數函數，三解函數與反三角函數，雙曲函數，一般冪函數和一般指數函數。

　　三、復變函數的積分

　　一、要求

　　（一）明確復積分的概念及其基本性質。　　（二）會證柯西積分定理和柯西積分公式；理解解析函數的無限可微性和莫勒拉定理。　　（三）熟練地掌握復積分的計算方法。　　（四）理解劉維爾定理，會證代數基本定理。　　（五）掌握解析函數與調和函數的關系。

　　二、考試內容

　　（一）復積分的概念、基本性質及其計算方法。　　（二）柯西積分定理（在f'（z）連續的條件下，用格林公式證明）。不定積分，復連通區域上的柯西積分定理。　　（三）柯西積分公式，解析函數的無限可微性。　　（四）柯西不等式、劉維爾定理、代數基本定理。　　（五）莫勒拉定理。　　（六）解析函數與調和函數的關系。

　　四、解析函數的冪級數表示法

　　一、要求

　　（一）明確收斂、絕對收斂、一致收斂、內閉一致收斂、冪級數、收斂半徑、收斂圓、泰勒級數等概念。　　（二）了解一致收斂的函數項極數的分析性質。　　（三）掌握解析函數的零點孤立性定理和唯一性定理，了解最大模原理的含義。　　（四）會求冪級數的收斂半徑，了解冪級數的和函數在收斂圓周上必有奇點。　　（五）會求簡單初等函數的泰勒展開式。

　　二、考試內容

　　（一）復數項極數、收斂、絕對收斂。　　（二）復變函數項級數、收斂、一致收斂、內閉一致收斂、一致收斂的函數項級數的分析性質。　　（三）冪級數、阿貝爾定理、收斂半徑、收斂圓、冪級數和函數的解析性。　　（四）泰勒定理。基本初等函數的泰勒展開式。　　（五）解析函數零點的孤立性、唯一性定理，最大模原理。

　　五、羅朗級數、孤立奇點

　　一、要求

　　（一）明確羅朗級數、孤立奇點、可去奇點、極點、本性奇點等概念。　　（二）會求簡單函數的羅朗展式。　　（三）會判別孤立奇點的類型。

　　二、考試內容

　　（一）解析函數的羅朗展式。　　（二）解析函數的孤立奇點的概念、分類以及函數在孤立奇點領域內的性質。　　（三）解析函數在無窮遠點的性質。

　　六、殘數及其應用

　　一、要求

　　（一）掌握殘數概念和殘數的求法。　　（二）掌握殘數定理的證法并會用殘數定理計算曲線積分。　　（三）會用殘數理論計算定積分和廣義積分（三種類型）；

　　（四）了解幅角原理、儒歇定理，會用儒歇定理判斷某些方程在指定區域內根的個數。

　　二、考試內容

　　（一）殘數定義、殘數求法、有限復平面上的殘數定理。　　（二）解析函數在無窮遠點上的殘數、擴充復平面上的殘數定理。　　（三）用殘數計算曲線積分。　　（四）用殘數計算一些定積分和廣義積分。　　（五）儒歇定理及其應用。

　　七、保形變換

　　一、要求

　　（一）掌握導數的模和幅角的幾何意義。　　（二）明確保角變換和保形變換的概念。了解解析變換的保域性。掌握單葉角析變換的保形性。　　（三）掌握分式線性變換的性質和幾個典型的分式線性變換。

（四）會用分式線性變換和幾個基本初等變換所構成的復合變換作簡單區域之間的保形變換。

二、考試內容

（一）導數的模和幅角的幾何意義，保角變換，保形變換。

（二）解析變換的保域性（不證），單葉解析變換的保形性。

（三）分式線性變換用其分解，分式線性變換的性質及幾個典型的分式線性變換。

（四）簡單復合變換。

　　選用教材意見

　　《復變函數論》　鐘玉泉編　高等教育出版社出版